Gaussian Process Practice (1) 1D

• Gaussian Process 연습입니다.
• scikit-learn을 비롯한 예제를 재구성하여 연습합니다.
• 오차가 없을 때와 있을 때를 비교합니다.

1. Data Preparation

scikit-learn: Gaussian Process Regression: basic introductory example

1.1. example data

• Gaussian Process 연습을 위한 데이터를 준비합니다.
• scikit-learn의 예제를 일부 변형합니다.
• 1000개로 이루어진 매끈한 곡선을 만듭니다.
• 이번 글에서는 랜덤 함수를 많이 사용합니다. random number generator를 정의해 재현성을 확보합니다.

%matplotlib inline

# 라이브러리 및 random number generator
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
rng = np.random.RandomState(1)

# example data visualization
X = np.linspace(0, 10, 1000).reshape(-1, 1)
y = np.squeeze(X*np.sin(X))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 3))
ax.plot(X, y)

• 지금 그린 그래프는 우리가 Gaussian Process로 찾아야 할 참값입니다.

1.2. 6 training points

• 임의의 x 좌표 6개를 골라 예제 데이터를 뽑습니다. 측정값(evidence)이라 볼 수 있습니다.
• 두 가지 상황을 가정해 이 지점들로 참값 곡선을 찾아갈 것입니다.
• ① 측정을 하면 정확한 값을 찾아내는 경우: 딱 6개만 뽑으면 됩니다.
• ② 측정이 불확실성을 안고 있는 경우: x 하나당 10번씩 측정했다고 하겠습니다. 표준 편차 = 1입니다.

training_indices = rng.choice(np.arange(y.size), size=6, replace=False)

# ① exact observation
X_train = X[training_indices]
y_train = y[training_indices]

# ② noisy situation
noise_std = 1
X_train_noisy = np.array(X[training_indices].tolist()*10)
y_train_noisy = np.array(list(y[training_indices])*10) + rng.normal(0, noise_std, size=y_train.shape[0]*10)

# visualization
fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 3))
ax.plot(X, y, c="lightgray", label="true")
ax.scatter(X_train, y_train, label="sample without noise")
ax.scatter(X_train_noisy, y_train_noisy, label="sample with noise", s=5, alpha=0.5)
ax.legend()

2. Gaussian Process

2.1. Without Noise

scikit-learn: Radial basis function kernel
The Gradient: Gaussian Process, not quite for dummies

• evidence가 참값인 경우의 Gaussian Process를 실행합니다.
• 커널에는 Radial Bassis Function 커널을 사용합니다.
• length_scale 초기값은 1, 범위는 0.01부터 100 안에서 fitting합니다.

from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF

kernel = 1*RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-2, 1e2))
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel, n_restarts_optimizer=9)
gpr.fit(X_train, y_train)
print(gpr.kernel_)

• 실행 결과

5.02**2 * RBF(length_scale=1.43)

• fitting 결과 1로 지정했던 계수와 length_scale이 변경되었습니다.

• 계수는 신뢰구간의 폭, length_scale은 곡선의 매끈함(smoothness)에 해당합니다.
  
  
  
  
  

• 다음 명령으로 추가 정보를 얻을 수 있습니다.

gpr.kernel_.theta

• 실행 결과

array([3.22768806, 0.36021977])

• gpr.kernel_theta는 (flattened, log-transformed) non-fixed hyperparameters입니다.
• 전체 X를 넣고 Gaussian Process 결과를 그림으로 확인합니다.

# prediction
y_pred_mean, y_pred_std = gpr.predict(X, return_std=True)

• 확대를 해도 측정값은 신뢰구간의 폭이 0임을 확인할 수 있습니다.
• 측정된 데이터를 참값으로 가정했으므로 측정값의 분산은 0입니다.

2.2. With Noise

scikit-learn: GaussianProcessRegressor

• 이번에는 측정 데이터에 오차가 포함된 경우를 살펴봅니다.
• 오차가 있는 데이터는 GaussianProcessRegressor()에 측정 오차를 의미하는 매개변수 alpha를 추가해야 합니다.
• 수식에서는 커널 행렬의 대각 요소에 추가되는 값으로 fitting시 발생하는 numerical issue를 예방합니다.

2.2.1. 오차 데이터 직접 입력

• 아까와 동일하게 Gaussian Process fitting을 수행합니다.

kernel = 1*RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-2, 1e2))
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel, n_restarts_optimizer=9, alpha=0.5)
gpr.fit(X_train_noisy, y_train_noisy)
print(gpr.kernel_)

• 실행 결과

4.92**2 * RBF(length_scale=1.37)

• 아까와는 다른 값으로 수렴했습니다.
• 다시 전체 X를 넣고 예측 결과를 확인합니다.
• 참값은 입력하지 않았지만 대조를 위해 함께 도시합니다.

# prediction
y_pred_mean, y_pred_std = gpr.predict(X, return_std=True)

• 데이터를 확보한 곳에서도 불확실성에 의해 신뢰구간이 한 점으로 수렴하지 않습니다.
• 아울러 전체의 평균값도 참값에서 조금씩 어긋나 있음을 확인할 수 있습니다.

2.2.2. 오차 분산 입력

• 이번에는 모든 데이터를 입력하는 대신 참값데이터와 함께 분산을 입력합니다.
• 앞서 noise를 만들 때 표준 편차 = 1을 입력했는데 정말 그런지 확인합니다.

import pandas as pd

df_noisy = pd.DataFrame({"X_noisy":X_train_noisy.ravel(), "y_noisy":y_train_noisy})
dfg_noisy = df_noisy.groupby("X_noisy").std()
std = dfg_noisy.mean().values[0]
print(std)

• 실행 결과

1.0616168585081918

• 의도한 바와 같이 데이터의 평균 분산은 1과 유사한 값으로 나왔습니다.
• 애초에 의도한 값 1을 제곱하여 alpha에 입력하고 Gaussian Process를 진행합니다.
• 계수가 아까보다 작게 나왔습니다.

kernel = 1*RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-2, 1e2))
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel, n_restarts_optimizer=9, alpha=1**2)
gpr.fit(X_train, y_train)
print(gpr.kernel_)

• 실행 결과

4.39**2 * RBF(length_scale=1.16)

• 같은 코드로 그림을 그려 확인합니다.
• 줄어든 계수가 무색하게 전체적으로 신뢰구간이 더 넓은 듯한 느낌입니다.
  
  

2.2.3. alpha가 같을 때 데이터 수에 따른 비교

• noisy data를 직접 입력했을 때와 모양이 달라진 것이 데이터에 무관한, alpha에 따른 차이가 아닐까 의구심이 듭니다.
• alpha=1로 설정하고 noisy data로 학습시킨 후 양상을 확인합니다.

kernel = 1*RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-2, 1e2))
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel, n_restarts_optimizer=9, alpha=1)
gpr.fit(X_train_noisy, y_train_noisy)
print(gpr.kernel_)

• 실행 결과

4.84**2 * RBF(length_scale=1.34)

• 값이 조금 다르기는 하지만 noisy data를 입력했을 때에 가깝습니다.
• 그래프 모양을 보면 더 확연하게 드러납니다.
  
  

2.2.4. 커널 parameter 범위에 따른 결과

• 앞서 kernel을 다음과 같이 정의했습니다.

kernel = 1*RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-2, 1e2))

• RBF kernel의 length scale이 가질 수 있는 범위를 0.01 ~ 100으로 지정한 것입니다.
• 그리고 결과적으로 입력된 데이터에 의해 length scale = 1.16로 결정되었습니다.
• 그런데 초기값의 범위가 이 밖에 있으면 전혀 다른 결과가 얻어집니다.
• 먼저, length scale이 너무 클 때입니다.

kernel = 1*RBF(length_scale=100, length_scale_bounds=(10, 1e3))

• 초기값을 100, 범위를 10~1000으로 잡으면 결과적으로 316**2 * RBF(length_scale=10)에 수렴합니다.

• 이 때 결과는 다음과 같습니다.

• 지나친 과소적합(underfitting)으로 인해 x=0 부근에서 참값을 따라가지 못하고 평균값이 40 가까이 발산해 버렸습니다.
  
  

• 이번에는 거꾸로 kernel의 length_scale이 너무 작은 경우입니다.

kernel = 1*RBF(length_scale=0.01, length_scale_bounds=(1e-4, 1e-1))

• 학습 결과 kernel이 4.16**2 * RBF(length_scale=0.01)로, length scale이 입력된 범위의 최대값에 닿았습니다.
• 결과적으로 과대적합(overfitting)이라고 불러야 할지 애매하지만 측정값 외에는 미동도 하지 않았습니다.
  
  

3. 결론

• Gaussian Process는 적은 데이터로 오차를 포함한 결과를 효과적으로 추론합니다.
• 그러나 커널의 제약에 민감하기 때문에 주의깊게 살펴볼 필요가 있습니다.