gravity

2022-01-13

2022-01-14

matplotlib, numpy, python

파이썬은 과학과 공학을 구현하기 좋습니다.
간단한 몇 개의 코드로 방정식을 구현하고,
시각화 기법을 사용해 우리 눈으로 봅니다.

1. 만유인력

wikipedia: gravity

질량이 있는 물체끼리는 끌어당기는 힘이 있습니다. 만유인력이라고 합니다.
뉴턴이 발견한 것으로 유명하고, 중력파는 우주의 비밀을 여는 열쇠가 됩니다.
두 물체의 질량이 $m_1$, $m_2$, 거리가 $r$일 때 다음과 같은 방정식으로 표현됩니다.

$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

$G$는 중력 상수라고 하며 값은 $6.67 \times 10^{-11} [\textrm{m} \cdot \textrm{kg}^{-1}\textrm{s}^{-2}]$ 입니다.

2. 자유 낙하

만유 인력을 일상의 물건들에서 느끼기엔 너무 미미하지만 지구나 태양이라면 이야기가 달라집니다.
위 식의 $m_2$에 지구의 질량을 넣고 $r$에 지구 반지름을 넣으면 지구의 중력이 됩니다.

$$F = mg$$

중학교때 배운 식으로 정리되며, 중력 가속도 $g = 9.8 [\textrm{m} \cdot \textrm{s}^{-2}]$ 입니다.
간단히 물체의 자유 낙하를 시뮬레이션 합니다.

2.1. python setting

기본 라이브러리를 불러오고 물체의 질량 등을 설정합니다.

연속적인 시간을 0.01초 단위로 끊어서 자유낙하를 모사하려고 합니다.

# 기본 라이브러리
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set_style("white")
sns.set_context("talk")

# 물체 
mass = 1                     # 질량 [kg] 
position = np.array([0, 10]) # x, y 위치 [m]
v = np.array([0, 0])         # x, y 방향 초기 속도 [m/s]
t = 0                        # 초기 시간 [s]
dt = 0.01                    # 시간 단위 [s]
g = np.array([0, -9.8])      # 중력 가속도 [m/s]

2.2. 자유 낙하 시뮬레이션

지상 높이 10미터에서 땅에 떨어지는 시간을 살펴봅니다.
중학교에서 배우는 아래 공식에 $a$ 대신 $g$를 넣습니다.

$$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$

땅을 뚫고 들어가는 상황은 가정하지 않습니다.
초기 위치로 가정한 position의 y좌표 > 0일 때만 계산합니다.

걸리는 시간은 ts리스트, 위치는 positions에 모읍니다.

# 시뮬레이션
ts = []
positions = []
while position[1] >= 0:
    ts.append(t)
    positions.append(position)

    position = position + v*t + 0.5 * g * t**2
    t += dt
    
# 시각화
fig, axs = plt.subplots(ncols=2, figsize=(8, 4), constrained_layout=True)

directions = ["x", "y"]
for i, (ax, direction) in enumerate(zip(axs, directions)):
    ax.scatter(ts, np.array(positions)[:,i], alpha=0.3, c="k")
    ax.set_xlabel("time (s)")
    ax.set_title(f"{direction} position (m)", pad=12)

좌우로 흔들릴 일은 없으므로 x position은 그대로
중력에 의해 떨어지기만 하므로 y position만 변화합니다.

2.3. 자유 낙하 애니메이션

좀 재밌게 만들어 봅시다.
matplotlib의 애니메이션 기능을 이용해서 만들 수 있습니다.
물체의 위치를 표현할 scatter plot과 시간을 표현할 text를 내용만 비우고 만든 뒤에,

time step마다 각각의 데이터만 업데이트하는 방식을 사용했습니다.

from matplotlib import animation

fig, ax = plt.subplots(figsize=(4, 4), constrained_layout=True)
scatter, = ax.plot([], [], marker="o", mfc="b", mec="w")
time_text = ax.text(0.5, 0.9, f"", transform=ax.transAxes, ha="center")

ax.set_ylim(0, 12)

def updatefig(i):       
    scatter.set_data(positions[i][0], positions[i][1])
    time_text.set_text(f"t = {ts[i]:.03f} sec.")
    return fig,


ani = animation.FuncAnimation(fig, updatefig, interval=100, blit=True, repeat=False, frames=len(ts))
ani.save("1_gravity_02.gif")

ani.save()명령으로 파일로 저장했습니다.
주피터 노트북이나 Google Colab에서 다음 코드를 사용하면 interactive animation을 얻을 수 있습니다.
1
2
from IPython.display import HTML
HTML(ani.to_jshtml())

3. 움직이는 두 개의 물체

3.1. class로 물체 생성

지구 vs 물체 대신 물체 vs 물체 구도가 되면 조금 복잡해집니다.
지구는 너무나 거대하기 때문에 상수로 놓을 수 있었지만 물체는 변수입니다.
서로 힘을 주고 받을 때 위치와 속도가 변합니다.

물체마다 받는 힘과 이로 인한 위치 변화 등을 계산합시다. class가 편합니다.

class Particle():
    def __init__(self, mass, pos, v, fix=False):
        self.mass = mass # scalar  # 질량. scalar
        self.pos = np.array(pos)   # 위치 (x, y) 2D vector 
        self.v = np.array(v)       # 속도 (x, y) 2D vector
        self.a = np.array([0,0])   # 가속도 (x, y) 2D vector
        self.fix = fix             # 고정 여부. True or False
    
    def update(self, force):
        if not self.fix:           # 고정이 되어 있지 않을 때만 데이터 업데이트
            self.a = force/self.mass
            self.pos = self.pos + (self.v * dt) + (0.5*self.a * dt**2)
            self.v = self.v + self.a * dt

이제 물체를 class로 정의할 준비가 되었습니다.
물체를 입자라는 뜻의 Particle로 부르겠습니다.

각각의 질량, 위치, 속도를 정하고 생성합니다.

P1_mass, P2_mass = 1, 1
P1_pos, P2_pos = [1, 1], [-1, -1]
P1_v, P2_v = [0, 0], [0, 0]

P1 = Particle(P1_mass, P1_pos, P1_v)
P2 = Particle(P2_mass, P2_pos, P2_v)

3.2. 중력 계산 함수

물체들 간의 인력을 계산할 함수를 만듭니다.
맨 위의 방정식을 옮깁니다.
방정식에 따르면 거리가 너무 가까울 때 만유인력이 무한대로 증가하는 문제가 있습니다.
특정 거리dist_cr 미만으로 오면 인력을 0으로 강제해서 관성으로만 움직이게 합니다.

만유인력 상수가 너무 작아서 임의로 크게 키웠습니다.

여기에 걸맞게 질량이 아주 커다란 천체들의 움직임이라고 생각할 수 있습니다.

def calc_force(P_self, P_other, k=1, dist_cr = 0.02):
    pos_self = P_self.pos
    pos_other = P_other.pos
    rel_vec = pos_other - pos_self
    dist = np.linalg.norm(rel_vec)    

    mass_self = P_self.mass
    mass_other = P_other.mass

    if dist < dist_cr:
        force = 0
        return rel_vec # [0, 0]
    else:
        force = k*mass_self*mass_other/ dist**2
        return force * rel_vec/dist

3.3. 두 물체간의 만유인력

150번 iteration하면서 시간, 위치, 속도, 힘을 차례로 뽑아내며 업데이트합니다.

iter_max = 150

ts = []                  # 시간
P1_pos, P2_pos = [], []  # 시간별 위치
P1_v, P2_v = [], []      # 시간별 속도

for i in range(iter_max):
    # time update
    ts.append(i*dt)
    
    # position update
    P1_pos.append(P1.pos)
    P2_pos.append(P2.pos)

    # velocity update
    P1_v.append(P1.v)
    P2_v.append(P2.v)

    # calculate force
    P1_force = calc_force(P1, P2, k=10)
    P2_force = calc_force(P2, P1, k=10)

    # update
    P1.update(P1_force)
    P2.update(P2_force)

어떻게 움직였나 한번 봅시다.

P1_pos = np.array(P1_pos)
P2_pos = np.array(P2_pos)

plt.plot(P1_pos[:, 0], P1_pos[:, 1], "o-", label="P1")
plt.plot(P2_pos[:, 0], P2_pos[:, 1], "o-", label="P2")
plt.title("position", pad=12)
plt.legend()

뭔가 이상합니다.
시작점은 P1이 [1, 1], P2가 [-1, -1]이었습니다.
서로 끌어당기다가 한가운데인 [0, 0]에서 만나야 할 것 같은데 한참을 더 지나갑니다.

x방향 속도를 그려봅니다.

plt.plot(np.array(P1_v)[:, 0], "o-", label="P1")
plt.plot(np.array(P2_v)[:, 0], "o-", label="P2")
plt.title("x-directional velocity (m/s", pad=12)
plt.legend()

120번째 step 부근에서 속도가 크게 빨라졌다가 감소하지만 부호는 바뀌지 않습니다.
원점을 지나 힘이 거꾸로 작용해도 관성에 의해 서로를 지나쳤고,
이 때 작용하는 힘은 다시 불러오기엔 역부족인 듯 합니다.

3.4. 동영상 제작 함수

동영상으로 확실하게 살펴봅니다.
왠지 앞으로 동영상을 자주 만들 것 같습니다.
N개의 입자를 다룰 수 있도록 앞의 코드를 일반화합니다.
질량에 따라 입자의 크기와 색이 바뀌도록 설정을 해두고,

컬러맵을 사용해서 입자마다 다른 색을 두르도록합니다.

cmap = plt.get_cmap("tab10")

def gen_animation(Ps, Ps_pos, ts, title, legend=True):
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(4, 4), constrained_layout=True)

    mfcs = ["k" if P.mass > 0 else "w" for P in Ps]
    mss = [12*np.sqrt(abs(P.mass)) for P in Ps]
    plots = [ax.plot([], [], marker="o", mfc=mfc, mec=cmap(j/10), mew=3, ms=ms, label=f"P{j+1}") 
             for j, (P_pos, mfc, ms) in enumerate(zip(Ps_pos, mfcs, mss))]
    time_text = ax.text(0.5, 0.9, f"", transform=ax.transAxes, ha="center")
    title = ax.set_title(title, pad=12)

    ax.set_xlim(-1.1, 1.1)
    ax.set_ylim(-1.1, 1.1)
    if legend:
        ax.legend(loc="lower right")

    def updatefig(i):
        [plot[0].set_data(P_pos[i][0], P_pos[i][1]) for plot, P_pos in zip(plots, Ps_pos)]       
        time_text.set_text(f"t = {ts[i]:.03f} sec.")
        return fig,


    ani = animation.FuncAnimation(fig, updatefig, interval=100, blit=True, repeat=False, frames=len(ts))
    return ani

아까 데이터를 다시 넣어 애니메이션을 만듭니다.

서로를 지나쳐간 뒤에 속도가 줄어드는 모습이 관찰됩니다.

1	ani = gen_animation([P1, P2], [P1_pos, P2_pos], ts, "position in xy coordinate")

4. 고정된 물체와 움직이는 물체

4.1. N개의 물체 사이 만유인력

이제 우리는 만유인력을 계산하고 그릴 수 있습니다.
N개의 물체를 그리는 함수를 만들었으니, N개의 물체 사이 힘을 계산하는 함수도 만듭시다.

2중 for loop을 사용해서 모든 입자간의 인력을 계산하여 총 합을 구합니다.

def run_force(Ps, k=10, iter_max=150):
    Ps_pos = []
    for _ in Ps:
        Ps_pos.append([])

    ts = []
    for i in range(iter_max):
        # time update
        ts.append(i*dt)

        # position update
        for P, P_pos in zip(Ps, Ps_pos):
            P_pos.append(P.pos)

        # calculate force
        P_splits = [[P, list(set(Ps) - set([P]))] for P in Ps]
        for j, (P_self, P_others) in enumerate(P_splits):
            P_self_force = np.array([0.0, 0.0])
            for P_other in P_others:
                P_self_force += calc_force(P_self, P_other, k=k)
            # update force
            P_self.update(P_self_force)

    return Ps, Ps_pos, ts

4.2. 고정된 물체와 던져진 물체

1번 물체 P1은 원점 [0,0]에 고정하고
2번 물체 P2는 [0, 0.7]에서 $-x$방향으로 던집니다.

P2의 속도에 따른 궤적 변화를 살펴봅니다.

# 물체 정의
P1_mass, P2_mass = 1, 1
P1_pos, P2_pos = [0, 0], [0, 0.7]
P1_v, P2_v = [0, 0], [-2, 0]
P1_fix, P2_fix = True, False

P1 = Particle(P1_mass, P1_pos, P1_v, P1_fix)
P2 = Particle(P2_mass, P2_pos, P2_v, P2_fix)

# 만유인력 계산, 시각화
Ps = [P1, P2]
Ps, Ps_pos, ts = run_force(Ps, k=10, iter_max=150)
ani = gen_animation(Ps, Ps_pos, ts, "position in xy coordinate")

SF영화에서 많이 본 듯한 모습이 관찰됩니다.
중앙의 P1을 축으로 빙 돌아 자신이 온 방향으로 나갑니다.

이번엔 P2를 조금 빠르게 던집니다.
나머진 가만히 두고 position 초기화, velocity 재설정만 추가합니다.
만유인력과 원심력이 같아지는 속도에서는 물체가 지표면에서 추락하지 않고 궤도를 그립니다.
우리가 사용한 질량 등을 넣으면 다음과 같이 정리됩니다.

$$ v = \sqrt{\frac{km_1}{r}} = 3.8 [\textrm{m}/\textrm{s}]$$

이를 제1 우주 속도라고 합니다.

# 시작점과 속도 재설정
P1_pos, P2_pos = [0, 0], [0, 0.7]
P1_v, P2_v = [0, 0], [-3.8, 0]

P1 = Particle(P1_mass, P1_pos, P1_v, P1_fix)
P2 = Particle(P2_mass, P2_pos, P2_v, P2_fix)

# 만유인력 계산, 시각화
Ps = [P1, P2]
Ps, Ps_pos, ts = run_force(Ps, k=10, iter_max=150)
ani = gen_animation(Ps, Ps_pos, ts, "position in xy coordinate")

쪼개진 시간과 유효숫자 등의 차이로 원궤도에서는 다소 어긋났습니다.
하지만 전반적으로 원을 그리며 제 자리로 옵니다.

더 빠르면? 말할 것도 없습니다.
도망가 버립니다.
속도를 $5 [\textrm{m}/\textrm{s}]$로 빠르게 했을 때 그림입니다.

5. 마이너스 질량

실제로는 불가능하지만 코드에는 마이너스 질량을 넣을 수 있습니다.

10배 무거운 마이너스 질량의 벽을 뚫을 수 있나 봅시다.

P0_mass, P1_mass, P2_mass, P3_mass, P4_mass = 1, -10, -10, -10, -10
P0_pos, P1_pos, P2_pos, P3_pos, P4_pos = [0, 0], [0.7, 0], [0, 0.7], [-0.7, 0], [0, -0.7]
P0_v, P1_v, P2_v, P3_v, P4_v = [3, 1], [0, 0], [0, 0], [0, 0], [0, 0]
P0_fix, P1_fix, P2_fix, P3_fix, P4_fix = False, True, True, True, True

P0 = Particle(P0_mass, P0_pos, P0_v, P0_fix)
P1 = Particle(P1_mass, P1_pos, P1_v, P1_fix)
P2 = Particle(P2_mass, P2_pos, P2_v, P2_fix)
P3 = Particle(P3_mass, P3_pos, P3_v, P3_fix)
P4 = Particle(P4_mass, P4_pos, P4_v, P4_fix)

Ps = [P0, P1, P2, P3, P4]
Ps, Ps_pos, ts = run_force(Ps, k=10, iter_max=50)
ani = gen_animation(Ps, Ps_pos, ts, "position in xy coordinate", legend=False)

$(3, 1) [\textrm{m}/\textrm{s}]$로는 부족합니다. 못 나갑니다.
$(5, 2) [\textrm{m}/\textrm{s}]$는 어떨까요?
몸부림 끝에 탈출에 성공합니다.

6. 정전기력

만유인력 방정식은 정전기력electrostatic force과 매우 비슷합니다.
전하 $q_1$과 $q_2$를 가진 전하 두 개가 거리 $r$만큼 멀리 있다면 이들 사이에는 아래 힘이 작용합니다.

$$F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}$$

상수 $k$는 $8.99 \times 10^9 [N \cdot m^2 \cdot C^{-2}]$ 입니다.
일반적으로 만유인력보다 훨씬 강하기 때문에 우리 일상에서 자주 볼 수 있습니다.
정전기력은 부호가 다르면 끌어당기고 부호가 같면 밀칩니다.
위에서 마이너스 질량을 사용한 예시는 같은 부호의 정전기력 시각화로 볼 수도 있습니다.

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